第四讲数论的方法技巧之二

　　四、反证法

　　反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。

　　反证法的过程可简述为以下三个步骤：

　　1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；

　　2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾――与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；

　　3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

　　运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。

         解：如果存在这样的三位数，那么就有

　　100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。上式可化简为80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。这表明所找的数是不存在的。

　　说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。

　　例2将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。

　　解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。故和的数字中必有偶数。

        说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。但对其他位数的数不一定成立。如12+21，506+605等。