第三讲 数论的方法技巧之一

　　数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

　　小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：

　　1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得

　　a=bq+r（0≤r＜b），

　　且q，r是唯一的。

　　特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

　　2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

　　3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

　　其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

　　4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：

　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

　　5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

　　下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

　　一、利用整数的各种表示法

　　对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：

　　1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；

　　2．带余形式：a=bq+r；